Sie haben drei Faktoren, eine Screening-Studie hinter sich, und brauchen ein quadratisches Modell, um ein Optimum zu finden und einen Design Space zu verteidigen. Das Lehrbuch gibt Ihnen zwei Optionen: Central Composite (CCD) oder Box-Behnken (BBD). Die Wahl fällt meist allein anhand der Lauf-Zahl, und das ist der falsche Grund. Der eigentliche Unterschied ist, welche Ecken Ihres Faktorraums jedes Design Sie tatsächlich fahren lässt.
Dieser Artikel baut beide Designs über dieselben drei Faktoren und vergleicht sie dann nach Effizienz und Power. Jede Zahl unten stammt aus unserer Versuchsplanung.
Die kurze Antwort
Verwenden Sie Box-Behnken, wenn die extremen Ecken Ihres Faktorraums chemisch oder betrieblich unplausibel sind oder wenn die Axialpunkte eines CCD außerhalb eines machbaren Bereichs liegen würden. Verwenden Sie Central Composite, wenn Sie die Ecken fahren können, einen breiteren Bereich erkunden wollen und eher ein bestehendes zweistufiges Faktorielles erweitern als neu beginnen wollen.
Der Aufbau
Drei Faktoren, realistische Bereiche für eine Kupplungsreaktion:
- Temperatur: 70 bis 110 °C
- Katalysatorbeladung: 1 bis 6 mol-%
- Zeit: 4 bis 14 h
Beide Designs wurden mit 4 Center-Punkten angefordert, sodass die Center-Replikation identisch ist und der Vergleich fair bleibt.
Was die Versuchsplanung tatsächlich lieferte
Das Central-Composite-Design kam auf 18 Läufe: 8 faktorielle Ecken, 6 axiale (Stern-)Punkte, 4 Center-Punkte.
Das Box-Behnken-Design kam auf 16 Läufe: 12 Kantenmittelpunkte, 4 Center-Punkte. Keine Ecken, keine Axialpunkte.
| Central Composite | Box-Behnken | |
|---|---|---|
| Läufe gesamt (4 Center-Punkte) | 18 | 16 |
| Faktorielle Eck-Läufe | 8 | 0 |
| Kantenmittelpunkt-Läufe | 0 | 12 |
| Axial-/Stern-Läufe | 6 | 0 |
| Unterschiedliche Stufen pro Faktor | 5 | 3 |
| Max. codierter Abstand vom Zentrum | 2,236 (axial) | 1,414 (Kante) |
| Besucht extreme Ecke (+1,+1,+1)? | Ja | Nein |
| Läufe außerhalb des angegebenen Faktorbereichs? | Ja, 6 | Nein |
Quelle: zwei Designs aus derselben Versuchsplanung, gleiche Faktordefinitionen, gleiche Zahl an Center-Punkten.
Der entscheidende Befund: Die CCD-Axialpunkte verlassen Ihren Bereich
Das ist der Teil, den ein reiner Lauf-Zahl-Vergleich verbirgt. Die CCD-Axialpunkte kamen bei einem codierten Abstand von plus/minus 2,236 zurück, was in realen Einheiten bedeutet:
| Axial-Lauf | Temperatur (°C) | Katalysator (mol-%) | Zeit (h) |
|---|---|---|---|
| 9 | 45,28 | 3,5 | 9,0 |
| 10 | 134,72 | 3,5 | 9,0 |
| 11 | 90,0 | −2,09 | 9,0 |
| 12 | 90,0 | 9,09 | 9,0 |
| 13 | 90,0 | 3,5 | −2,18 |
| 14 | 90,0 | 3,5 | 20,18 |
Zwei dieser Läufe sind keine Experimente. Sie können nicht −2,09 mol-% Katalysator einwiegen, und Sie können keine Reaktion für −2,18 Stunden fahren. Ein dritter, 134,72 °C, liegt über dem Siedepunkt vieler gängiger Lösungsmittelsysteme.
Das ist das praktische Argument für Box-Behnken in einer Tabelle. Die BBD überschreitet bei keinem Faktor jemals das angegebene Minimum/Maximum; ihr extremster Lauf ist ein Kantenmittelpunkt bei codiertem Radius 1,414, z. B. 110 °C bei 6 mol-% und 9 h (mittlere Zeit). Jeder der 16 Läufe liegt innerhalb der Box, die Sie angegeben haben.
Zwei ehrliche Einschränkungen zur CCD-Zahl. Erstens ist der codierte Axialabstand von 2,236 größer als der klassische rotierbare Wert für drei Faktoren, nämlich 2^(3/4) = 1,682. Wenn Rotierbarkeit für Sie wichtig ist, prüfen Sie die Axial-Spalte des zurückgegebenen Designs, bevor Sie Gerätezeit buchen, statt sich auf einen Standardwert zu verlassen. Zweitens: Können Sie die Axialpunkte nicht wie zurückgegeben fahren, kappen Sie sie nicht stillschweigend auf den Bereich; ein flächenzentriertes CCD (Axialpunkte bei plus/minus 1) ist ein anderes Design mit anderen Varianzeigenschaften, und Sie sollten es bewusst anfordern.
Effizienz und Power am selben Problem
Der Designvergleich mit dem Ziel Optimierung über dieselben drei Faktoren brachte fünf Kandidaten in eine Rangfolge. Die Lauf-Zahlen weichen leicht vom obigen Abschnitt ab, weil hier 3 statt 4 Center-Punkte angesetzt sind:
| Design | Läufe | D-Effizienz | G-Effizienz | Geschätzte Power | Score |
|---|---|---|---|---|---|
| Box-Behnken | 15 | 0,3664 | 0,8889 | 0,868 | 0,679 |
| Central Composite | 17 | 0,0971 | 0,8257 | 0,940 | 0,598 |
| Vollfaktoriell 2ᵏ | 11 | 0,0 | 0,0 | 0,205 | 0,271 |
| Definitive Screening | 9 | 0,0003 | 1,0256 | 0,0 | 0,191 |
| D-optimal | 10 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,190 |
Empfohlen: Box-Behnken. Die unteren drei Zeilen schätzen nominell dieselben Terme, aber mit 9 bis 11 Läufen gegen 10 Modellparameter haben sie praktisch keine Rest-Freiheitsgrade; genau das drücken die Power-Werte von null aus. Die D-Effizienz-Werte sind intern normiert: Behandeln Sie sie als Rangfolge innerhalb eines Vergleichs, nicht als Zahl, die Sie gegen ein anderes Paket zitieren.
Separat dazu die Power-Analyse auf dem 18-Lauf-CCD und dem 16-Lauf-BBD aus dem ersten Abschnitt, beide gegen ein 10-Term-quadratisches Modell bei einem 1,0-Sigma-Effekt und alpha 0,05:
- CCD, n=18, 10 Terme: Power 0,951, 7 Fehler-Freiheitsgrade
- BBD, n=16, 10 Terme: Power 0,887, 5 Fehler-Freiheitsgrade
Das CCD kauft sich also rund 6 Prozentpunkte Power für 2 zusätzliche Läufe. Ob sich das lohnt, hängt vollständig davon ab, ob diese zusätzlichen Läufe die nicht durchführbaren Axialpunkte sind.
Eine reine Designempfehlung für 3 Faktoren und das Ziel Optimierung fällt dagegen auf das Central-Composite-Design, weil es das vollständige quadratische Modell abdeckt, und führt Box-Behnken als Alternative auf, die extreme Ecken vermeidet. Beide Betrachtungen sind sich beim Zielkonflikt einig und gewichten ihn unterschiedlich. Genau das ist der Punkt: Die Entscheidung ist ein fachliches Urteil, kein statistisches.
Wie Sie wählen, der Reihe nach
1. Listen Sie die Ecken auf. Schreiben Sie die 8 Kombinationen von Minimum/Maximum über alle drei Faktoren auf. Würde eine davon das Produkt zersetzen, eine Druckgrenze überschreiten oder eine nicht messbare Probe erzeugen, verwerfen Sie das CCD. 2. Berechnen Sie die Axialpunkte. Nehmen Sie Ihr Zentrum plus/minus das zurückgegebene alpha in realen Einheiten. Landet einer davon unter null oder außerhalb der Anlagengrenzen, erweitern Sie entweder den Faktorbereich so, dass die Axialpunkte hineinfallen, oder nehmen Sie die BBD. 3. Prüfen Sie, ob Sie bereits ein Faktorielles haben. Haben Sie ein 2^3-Screening gefahren, ist ein CCD günstig zu erreichen; Sie ergänzen Axial- und Center-Punkte zu dem, was Sie schon haben. Eine BBD würde bedeuten, neu zu beginnen. 4. Schauen Sie dann auf die Lauf-Zahl. Hier war der Unterschied 18 vs. 16, bei 3 Faktoren selten der entscheidende Faktor. Er wächst bei 4 und 5 Faktoren zugunsten der BBD.
Noch eine physische Einschränkung: BBD braucht 3 Stufen pro Faktor, CCD braucht 5. Ist ein Faktor eine diskrete Einstellung (eine fixe Drehzahlstufe, ein verfügbarer Siebschnitt), sind 3 Stufen möglicherweise alles, was Sie einstellen können.
Was dieser Vergleich Ihnen nicht sagt
- Nichts über Ihre Chemie. Das sind Geometrie- und Varianzeigenschaften einer Designmatrix. Sie sagen Ihnen nicht, ob ein quadratisches Modell das richtige Modell ist oder ob Ihre Zielgröße über den Bereich monoton verläuft.
- Keine Garantie für Lack-of-Fit. Beide Designs unterstützen einen Lack-of-Fit-Test nur wegen der replizierten Center-Punkte. Mit 4 Center-Punkten haben Sie 3 reine Fehler-Freiheitsgrade. Das ist dünn. Versagt das Modell, wissen Sie, dass es versagt hat, aber nicht viel darüber, warum.
- BBD extrapoliert an den Ecken. Die BBD beobachtet die Ecken nie; jede Vorhersage dort ist also Extrapolation aus einem gefitteten quadratischen Modell. Wandert Ihr Optimum in Richtung einer Ecke, ist die BBD-Vorhersage genau dort weniger vertrauenswürdig, wo es zählt.
- Die Power-Werte setzen ein Modell und ein Rauschniveau voraus. Die 0,951 und 0,887 oben gelten für einen 1,0-Sigma-Effekt gegen ein 10-Term-Modell. Halbieren Sie die Effektgröße, brechen beide ein. Rechnen Sie die Power mit Ihrer eigenen Assay-Wiederholpräzision nach, bevor Sie sich festlegen.
- Das ist Design-Unterstützung, keine Zulassungseinreichung. Eine Designmatrix aus unserer Versuchsplanung ist der Ausgangspunkt für eine Studie, die Sie noch fahren, auswerten und verteidigen müssen. Sie ersetzt weder Bestätigungsläufe im Labor noch ein validiertes Statistikpaket in einer regulatorischen Einreichung.
Häufige Fragen
Wie viele Läufe hat ein Box-Behnken-Design für 3 Faktoren?
Ein Box-Behnken-Design für 3 Faktoren hat 12 Kantenmittelpunkt-Läufe plus Center-Punkt-Replikate. Mit 4 Center-Punkten sind es 16 Läufe insgesamt, mit 3 Center-Punkten 15. Es gibt keine Eck-Läufe und keine Axial-Läufe, jeder Lauf liegt also innerhalb des von Ihnen angegebenen Minimum-/Maximum-Bereichs pro Faktor.
Wie viele Läufe hat ein Central-Composite-Design für 3 Faktoren?
Ein vollständiges Central-Composite-Design für 3 Faktoren hat 8 faktorielle Eck-Läufe, 6 axiale (Stern-)Läufe und Center-Replikate. Mit 4 Center-Punkten sind es 18 Läufe insgesamt. Die Axial-Läufe liegen außerhalb des angegebenen Faktorbereichs; das Design nutzt also 5 unterschiedliche Stufen pro Faktor statt 3.
Warum liegen die Axialpunkte des Central Composite außerhalb meines Faktorbereichs?
Axialpunkte liegen bei einem codierten Abstand alpha vom Zentrum, und alpha ist bei einem Standard-(umschriebenen)-CCD größer als 1. In unserem 3-Faktor-Beispiel ergab sich alpha = 2,236, was die Katalysatorbeladung auf −2,09 mol-% und die Zeit auf −2,18 h setzte. Beides ist physisch unmöglich, also müssen Sie entweder den Bereich erweitern, ein flächenzentriertes CCD verwenden oder zu Box-Behnken wechseln.
Welches Design hat mehr statistische Power, CCD oder Box-Behnken?
Für unseren 3-Faktor-Fall erhält das 18-Lauf-CCD eine Power von 0,951 und dem 16-Lauf-Box-Behnken eine Power von 0,887, beide gegen ein 10-Term-quadratisches Modell bei einem 1,0-Sigma-Effekt und alpha 0,05. Das CCD gewinnt durch seine 2 zusätzlichen Läufe rund 6 Prozentpunkte. Dieser Gewinn zählt nur, wenn die zusätzlichen Axial-Läufe tatsächlich durchführbar sind.
Wann sollte ich Box-Behnken gegenüber Central Composite bevorzugen?
Bevorzugen Sie Box-Behnken, wenn die extremen Faktorkombinationen unplausibel sind, wenn ein Faktor eine harte Untergrenze bei null hat (Konzentration, Zeit, Druck) oder wenn Sie für einen Faktor nur drei Stufen einstellen können. Bevorzugen Sie CCD, wenn Sie die Ecken fahren können, einen breiteren Bereich erkunden wollen oder ein bestehendes zweistufiges Faktorielles erweitern, statt eine neue Studie zu beginnen.
Kann ich ein faktorielles Screening-Design zu einem CCD machen?
Ja. Ein umschriebenes CCD ist ein zweistufiges Faktorielles plus Axial- und Center-Punkte, ein bestehendes 2^k-Screening kann also erweitert statt wiederholt werden. In einem zuvor dokumentierten Beispiel wurde ein 13-Lauf-Definitive-Screening-Design mit 8 neuen Läufen (6 axial, 2 zentral) zu einem 21-Lauf-CCD über drei Faktoren erweitert. Box-Behnken lässt sich auf diesem Weg nicht erreichen.
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Auswertung zu diesem Thema
Wir werten das für Ihr Labor aus.
- Design-of-Experiments, RSM, Templates.